เมทริกซ์: ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant and Property)

ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร

ให้

A = [a_{i j}]_{n \times n}

ซึ่งเราจะหา

A^{- 1}

จากสูตร

A - 1 = 1 det A adj (A)

เมื่อ

det A \neq 0

ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าถ้า

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสใดๆ คือ ตัวที่ตัดสินว่าเมทริกซ์นั้นๆ จะมีอินเวอร์สการคูณหรือไม่

det A {\neq 0 จะได้ว่า A - 1 หาค่าได้ = 0 จะได้ว่า A - 1 หาค่าไม่ได้

ในจำนวนจริงนั้น

0

เป็นเพียงค่าเดียวที่ไม่มี เอกลักษณ์การคูณ ( ไม่มี

0^{- 1}

)
ส่วนในเมทริกซ์นั้นสมาชิกที่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณ อาจมีได้หลายตัว (ทุก ๆ ตัวที่มีค่าดีเทอร์มีนัลต์เป็น

0

)

เช่น

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}], [\begin{matrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{matrix}]

ล้วนแต่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณทั้งสิ้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$

ให้

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

ดีเทอร์มิแนนต์ของ

A

ซึ่งเขียนแทนด้วย

det A

และ

| A |

สามารถหาได้ดังนี้

det A = | A | = a d - c b

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$
ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$ ดังนั้น

det A = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | = (1) (4) - (3) (2) = - 2

ดีเทอร์มิแนนต์ของเทริกซ์ขนาด $3 \times 3$ แบบต่อคอลัมน์

ให้

A = [\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}]

ดีเทอร์มิแนนต์ของ

A

สามารถหาได้ดังนี้

det A = (a e i + b f g + c d h) - (g e c + h f a + i d b)

ดังรูป

หรืออาจสรุปเป็นคำพูดง่าย ๆ คือ ผลรวมคูณทแยงลง - ผลรวมคูณทแยงขึ้น

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $3 \times 3$

ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$ ดังนั้น

\begin{array}{rcl} det A & = & (1) (5) (9) + (2) (6) (7) + (3) (4) (8) - (7) (5) (3) - (8) (6) (1) - (9) (4) (2) \\ = & (45 + 84 + 96) - (105 + 48 + 72) \\ = & 0 \end{array}

ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์

ให้

A = [a_{i j}]_{n \times n}

เมื่อ

n \geq 2

ไมเนอร์ของ $a_{i j}$ คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$ ของเมทริกซ์ $A$ ออก เขียนแทนด้วย $M_{i j} (A)$
โคแฟกเตอร์ของ $a_{i j}$ คือ $(- 1)^{i + j} M_{i j} (A)$ เขียนแทนด้วย $C_{i j} (A) = (- 1)^{i + j} M_{i j} (A)$

ตัวอย่างของไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์

ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$ จากรูป

ดังนั้น

M 11 (A) = = = = det [5869] (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) 45 - 48 3

ส่วน

C_{11} (A) = (- 1)^{1 + 1} M_{11} (A) = 3

วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์

ให้

A = [a_{i j}]_{n \times n}

เมื่อ

n \geq 2

1. เลือกแถวหรือหลักของเมทริกซ์

การเลือกแถวหรือหลักแนะนำให้เลือก แถวหรือหลักที่มี

0

ปรากฏอยู่เยอะ ๆ เพื่อง่ายต่อการคำนวณ

2. ถ้าเราเลือกแถวที่

i

จะได้ว่า

det (A) = a_{i 1} C_{i 1} (A) + a_{i 2} C_{i 2} (A) + \dots + a_{i n} C_{i n} (A)

3. ถ้าเราเลือกหลักที่

j

จะได้ว่า

det (A) = a_{1 j} C_{1 j} (A) + a_{2 j} C_{2 j} (A) + \dots + a_{n j} C_{n j} (A)

ตัวอย่างการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์

ให้ $A = [\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 8 & 0 \end{matrix}]$

ถ้าเลือกหลักที่

1

(เพราะ

0

เยอะ) จะได้ว่า

det A = = = = 0 \cdot C 11 (A) + 4 \cdot C 21 (A) + 0 \cdot C 31 (A) 0 + 4 \cdot (- 1) 2 + 1 \cdot det [2830] + 0 (- 4) \cdot (- 24) 96

ถ้าเลือกแถวที่

3

(เพราะ

0

เยอะ) จะได้ว่า

det A = = = = 0 \cdot C 31 (A) + 8 (- 1) 3 + 2 \cdot C 32 (A) + 0 \cdot C 33 (A) 0 + 8 \cdot (- 1) 3 + 2 \cdot det [0346] + 0 (- 8) \cdot (- 12) 96

ที่มา : https://www.opendurian.com/learn/determinant_and_property/

เมทริกซ์

วันเสาร์ที่ 10 ธันวาคม พ.ศ. 2559

ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant and Property)

ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$
ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$ ดังนั้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของเทริกซ์ขนาด $3 \times 3$ แบบต่อคอลัมน์

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $3 \times 3$

ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$ ดังนั้น

ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์

ตัวอย่างของไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์

ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$ จากรูป

วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์

ตัวอย่างการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์

ให้ $A = [\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 8 & 0 \end{matrix}]$

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

วันเสาร์ที่ 10 ธันวาคม พ.ศ. 2559

ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant and Property)

ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2ให้ A=[1324]ดังนั้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของเทริกซ์ขนาด 3×3แบบต่อคอลัมน์

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3ให้ A=⎡⎣⎢147258369⎤⎦⎥ ดังนั้น

ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์

ตัวอย่างของไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ให้ A=⎡⎣⎢147258369⎤⎦⎥ จากรูป

วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์

ตัวอย่างการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์ให้ A=⎡⎣⎢040258360⎤⎦⎥

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$
ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$ ดังนั้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของเทริกซ์ขนาด $3 \times 3$ แบบต่อคอลัมน์

ตัวอย่างของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด $3 \times 3$

ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$ ดังนั้น

ตัวอย่างของไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์

ให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$ จากรูป

ตัวอย่างการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยกระจายโคแฟกเตอร์

ให้ $A = [\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 8 & 0 \end{matrix}]$