เมทริกซ์: สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้

A, B

และ

C

เป็นเมทริกซ์มีมิติ

n \times n

และ

k

เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า

det (A^{t}) = det A

det (k A) = k^{n} det (A)

det (A B) = (det A) \cdot (det B)

det (A^{m}) = {(det A)}^{m}

det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}

เมื่อ

det A \neq 0

det [0]_{n \times n} = 0

เมื่อ

[0]_{n \times n}

คือเมทริกซ์ศูนย์

det I_{n} = 1

เมื่อ

I_{n}

คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

det D = d_{11} \cdot d_{22} \dots \cdot d_{n n}

เมื่อ

D = [d_{i j}]_{n \times n}

คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนหรือสามเหลี่ยมล่าง

จะสังเกตว่า
1. ดีเทอร์มิแนนต์กระจายการคูณได้

det (A B) = det (A) det (B)

แต่

det (A + B) อาจไม่เท่ากับ (det A) + (det B)

และ

det (A - B) อาจไม่เท่ากับ (det A) - (det B)

ดีเทอร์มิแนนต์กระจายการบวกและการลบไม่ได้นะ

det (A)

เป็นลบได้แม้บางครั้งเราจะใช้สัญลักษณ์

| A |

อย่าจำสับสนกับค่าสัมบูรณ์

3. จากสมบัติ

det (k A) = k^{n} det (A)

เวลาเราดึงค่าคงที่ออกจากดีเทอร์มิแนนต์ อย่าลืมยกกำลังมิต

det (adj A) = (det A) n - 1

ที่มา : https://www.opendurian.com/learn/determinant_and_property/