การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์

ถ้า  A=[aij]m×n$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$  และ B=[bij]p×q$B=[b_{ij}{]}_{p\times q}$

A×B$A\times B$ หาค่าได้เมื่อ n=p$n=p$

A×B=C$A\times B=C$ โดยที่ C$C$ มีมิติ m×q$m\times q$

ซึ่ง C=[cij]m×q$C=[c_{ij}{]}_{m\times q}$ โดยที่

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\dots +a_{in}{b}_{nj}$$

เพื่อความง่ายต่อการเข้าใจจะขอยกตัวอย่างดังนี้

ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์

ให้ A=[a11a21a12a22a13a23]2×3$A={\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]}_{2\times 3}$  และ  B=⎡⎣⎢b11b21b31b12b22b32⎤⎦⎥3×2$B={\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right]}_{3\times 2}$

A×B===[a11a21a12a22a13a23]2×3×⎡⎣⎢b11b21b31b12b22b32⎤⎦⎥3×2[a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32a11b12+a12b22+a13b32a21b12+a22b22+a23b32][c11c21c12c22]2×2$$\begin{array}{rcl}A\times B& =& {\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]}_{2\times 3}\times {\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right]}_{3\times 2}\\ & =& \left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+a_{13}{b}_{31}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}+a_{13}{b}_{32}\\ a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}+a_{13}{b}_{32}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}+a_{23}{b}_{32}\end{array}\right]\\ & =& {\left[\begin{array}{cc}{c}_{11}& c_{12}\\ c_{21}& c_{22}\end{array}\right]}_{2\times 2}\end{array}$$

ดังนั้นผลคูณของ A$A$ กับ B$B$ คือ  C=[c11c21c12c22]2×2$C={\left[\begin{array}{cc}{c}_{11}& c_{12}\\ c_{21}& c_{22}\end{array}\right]}_{2\times 2}$

ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์
ให้ A=[142536]2×3$A={\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]}_{2\times 3}$  และ  B=⎡⎣⎢125130⎤⎦⎥3×2$B={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\\ 5& 0\end{array}\right]}_{3\times 2}$

A×B===[142536]2×3×⎡⎣⎢125130⎤⎦⎥3×2[1⋅1+2⋅2+3⋅54⋅1+5⋅2+6⋅51⋅1+2⋅3+3⋅04⋅1+5⋅3+6⋅0][2044719]$$\begin{array}{rcl}A\times B& =& {\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]}_{2\times 3}\times {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\\ 5& 0\end{array}\right]}_{3\times 2}\\ & =& \left[\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 5& 1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 0\\ 4\cdot 1+5\cdot 2+6\cdot 5& 4\cdot 1+5\cdot 3+6\cdot 0\end{array}\right]\\ & =& \left[\begin{array}{cc}20& 7\\ 44& 19\end{array}\right]\end{array}$$

ดังนั้นผลคูณของ A$A$ กับ B$B$ คือ  C=[2044719]2×2

ที่มา : https://www.opendurian.com/learn/matrix_addition_and_multiplication/