พื้นฐานเมทริกซ์ (Intro to Matrix)

เมทริกซ์คืออะไร

กลุ่มของจำนวนที่ถูกเขียนเรียงเป็นแถว แถวละเท่า ๆ กัน และถูกล้อมรอบด้วยวงเล็บ

ตัวอย่างของเมทริกซ์

 

M1=[142536],M2=⎡⎣⎢135246⎤⎦⎥,M3=[1324]

 

มิติและการเรียกตำแหน่ง

• มิติ

ถ้าเมทริกซ์  M1  มีสมาชิก m แถว  และ n หลัก เราเรียกเมทริกซ์นั้นว่า เมทริกซ์ M1 มีมิติ m×nหรือเรียกว่า  เมทริกซ์ M1มีขนาด m×n

พิจารณาเมทริกซ์ M1,M2,M3 จากตัวอย่างข้างบนเราจะได้

เมทริกซ์ M1$M_1$  มีมิติ 2×3

เมทริกซ์ M2$M_2$  มีมิติ 3×2

เมทริกซ์ M3$M_3$  มีมิติ 2×2

• ตำแหน่ง

เราใชัสัญลักษณ์ต่อไปนี้แทนเมทริกซ์ที่มีมิติ m×n

A=[aij]m×n=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮am1a12a22⋮am2a13a13⋮a13⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

aij หมายถึงสมาชิก แถวที่ i หลักที่ j

ตัวอย่างของสัญลักษณ์แทนตำแหน่งของเมทริกซ์

M1=[142536]=[a11a21a12a22a13a23]

  ดังนั้น a11=1,a12=2,a13=3,a21=4,a22=5,a23=6

ประเภทของเมทริกซ์ที่ควรรู้จัก

เมทริกซ์ศูนย์

คือ เมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็น 0 หมด เราใชัสัญลักษณ์ 0¯=[0]m×n

ตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์

[0]2×3=[000000]

เมทริกซ์จัตุรัส

คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถว และหลักเท่ากัน หรือเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ  n×n

ตัวอย่างของเมทริกซ์จัตุรัส

 

M2=[1324],M4=⎡⎣⎢147258369⎤⎦⎥

• แนวทแยงมุมหลัก
  คือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์จตุรัส เรียกสมาชิกบนเส้นทแยงมุมจากซ้ายบนลงมาถึงขวาล่างว่า สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่างของสมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักของเมทริกซ์ M2 และ M4

 สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักของ M2 คือ 1,4

 สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักของ M4 คือ 1,5,9

เราอาจพิจารณาได้อีกแบบคือ สมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัส

คือ a11,a22,a33,…,ann

• เมทริกซ์เอกลักษณ์

คือ เมทริกซ์จตุรัสที่สมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักทุกค่าเป็น 1 และสมาชิกตำแหน่งอื่น ๆ มีค่าเป็น 0  เราใชัสัญลักษณ์ In แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ n×n

ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์

I2=[1001],I3=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥

 

• เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน
  คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 0 ตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าใหร่ก็ได้

ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

⎡⎣⎢100240356⎤⎦⎥,⎡⎣⎢⎢⎢1000040035600078⎤⎦⎥⎥⎥

• เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
  คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่บนส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 0 ตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าใหร่ก็ได้

ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

⎡⎣⎢331043006⎤⎦⎥,⎡⎣⎢⎢⎢5311043200630004⎤⎦⎥⎥⎥

ข้อสังเกต เมทริกซ์ศูนย์ และเมทริกซ์เอกลักษณ์ เป็นทั้งเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน และเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

ทรานสโพส

ให้ A เป็นเมทริกซ์มีมิติ m×n เขียนแทนด้วย A=[aij]m×n  ซึ่งทรานโพสของ A เขียนแทนด้วย At คือ

At=[aij]m×n=[aji]n×m

คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการนำสมาชิกในเมทริกซ์ A สลับกันระหว่างแถวกับหลัก

ตัวอย่างของเมทริกซ์ทราสโพส

ให้ A=[142536]  และ  B=⎡⎣⎢147258369⎤⎦⎥ ดังนั้น

At=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥  และ    Bt=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥

ที่มา : https://www.opendurian.com/learn/intro_to_matrix/